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數(shù)字的發(fā)明是人類歷史上的一項(xiàng)創(chuàng)舉。生活中幾乎所有的東西都離不開數(shù)字，可關(guān)于我們是如何得到這些數(shù)字的故事卻始終蓋著神秘的面紗。從古巴比倫楔形數(shù)字到希臘羅馬字母數(shù)字，都沒(méi)有看到零的身影，我們現(xiàn)在所使用的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字中的零究竟是從哪里來(lái)的？

《尋找零的起源》，這場(chǎng)聚焦東方的數(shù)字起源之旅，輾轉(zhuǎn)印度、泰國(guó)、老撾、越南，最終指向柬埔寨的叢林。在這段漫長(zhǎng)的旅途中，追求真相的學(xué)者、尋求刺激的叢林探險(xiǎn)者、真誠(chéng)得讓人意外的政客、無(wú)恥的走私客連結(jié)成線索，引向了世界上最早的那個(gè)零。

《尋找零的起源》書影

精彩書摘

成年后，我意識(shí)到了兒時(shí)困擾我的謎團(tuán)事實(shí)上是兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題是最初的數(shù)字是從哪里來(lái)的，即數(shù)字一到九是何時(shí)何地何人發(fā)明的？第二個(gè)問(wèn)題是數(shù)字零是從哪里來(lái)的，它是如何演化并成為影響世界的數(shù)字的？我意識(shí)到真正難解答的是第二個(gè)問(wèn)題。此外，人類是如何得到數(shù)字這個(gè)概念的？這個(gè)概念的起源是什么，又是如何隨著人類歷史的發(fā)展和演變，最終成就了由數(shù)字主宰的現(xiàn)代社會(huì)？

貨船繼續(xù)在大洋里緩慢航行。我和洛齊會(huì)花好幾個(gè)小時(shí)的時(shí)間討論幾個(gè)問(wèn)題。這些討論的深度比起我小時(shí)候要復(fù)雜深刻得多。洛齊曾經(jīng)是俄羅斯頂尖大學(xué)的純數(shù)學(xué)博士生，而數(shù)學(xué)也一直是俄羅斯大學(xué)所重視的學(xué)科之一。這就不必意外他可以在這些討論中充分發(fā)揮他的知識(shí)和才能。我喜歡和洛齊坐在甲板的椅子上，討論那些我長(zhǎng)大后才慢慢開始理解并感興趣的數(shù)學(xué)概念，當(dāng)然這些概念也是基于他在我小時(shí)候教過(guò)我的那些，譬如，表達(dá)數(shù)字的符號(hào)、數(shù)字、質(zhì)數(shù)和那神秘的斐波那契數(shù)列。

船終于跨越了大西洋，在新斯科舍省的哈利法克斯港口停了幾天，接著會(huì)經(jīng)過(guò)紐約市、南卡羅來(lái)那州的查爾斯頓，在前往加勒比海和南美洲前?？窟~阿密。我在那里下了船，準(zhǔn)備搭飛機(jī)去舊金山的學(xué)校報(bào)到。臨走前，洛齊跟我說(shuō)：“記得你小時(shí)候我們一起探討過(guò)數(shù)字符號(hào)是從哪里來(lái)的嗎？你或許可以找到答案。我有一次在一本科學(xué)考古雜志里讀到，一位法國(guó)考古學(xué)家?guī)资昵霸趤喼薨l(fā)現(xiàn)了關(guān)于數(shù)字零的重要信息，但我記不得具體細(xì)節(jié)了。”

洛齊臨別前的話激起了我濃厚的興趣，但我一直沒(méi)有機(jī)會(huì)繼續(xù)一探究竟。在伯克利，我的數(shù)學(xué)課被安排得滿滿當(dāng)當(dāng)?shù)?，這些課程雖然有挑戰(zhàn)性但都很有趣。除此之外，我還要一邊擔(dān)心我的成績(jī)和考試，一邊學(xué)習(xí)成為一名數(shù)學(xué)家。

通過(guò)我所修的課程——大部分是數(shù)學(xué)課，也有一些人類學(xué)、社會(huì)學(xué)和哲學(xué)課，我學(xué)到了不少關(guān)于數(shù)字和它們發(fā)展演化的知識(shí)。

數(shù)字作為概念出現(xiàn)的時(shí)間比我們想象的要早得多。1960年，比利時(shí)探險(xiǎn)家海因策林（Jean de Heinzelin de Braucourt）在伊尚戈一帶勘測(cè)，也就是現(xiàn)在的烏干達(dá)剛果（金）邊境附近（當(dāng)時(shí)是比屬剛果區(qū)）。他發(fā)現(xiàn)了一塊有些奇怪的骨頭：這是一塊狒狒的腓骨，上面刻著像是清點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的符號(hào)。后來(lái)的研究分析表明這些符號(hào)可能是人類最早的計(jì)數(shù)證明。這塊骨頭上有三組一模一樣的刻痕。相加總和分別是六十、四十八、六十。每一組刻痕又由五道、七道、九道、十一道、十三道不等的一串串符號(hào)組成。這塊骨頭可以追溯到兩萬(wàn)年前的舊石器時(shí)代，當(dāng)時(shí)人們主要以采集、狩獵為生。伊尚戈骨證明了早在兩萬(wàn)多年前的非洲，人類就已經(jīng)開始了某種計(jì)數(shù)的形式。它是迄今發(fā)現(xiàn)的最古老的證據(jù)，如今陳列于布魯塞爾的比利時(shí)皇家自然科學(xué)研究所。

伊尚戈骨：這是一塊狒狒的腓骨，距今已有兩萬(wàn)多年，上面的刻痕被認(rèn)為是人類最早的計(jì)數(shù)證明

那么伊尚戈骨的發(fā)現(xiàn)說(shuō)明了什么呢？它代表了在史前時(shí)期，生活在非洲灌木叢中的早期人類，已經(jīng)會(huì)在死去動(dòng)物的骨頭上用刻痕來(lái)記錄他們狩獵動(dòng)物的數(shù)量。這種以一對(duì)一的記錄還不能完全算是真正的計(jì)數(shù)，但已經(jīng)非常接近了。骨頭上刻痕越多代表其主人狩獵的數(shù)量越多。即使不知道具體數(shù)值，任何人也可以一目了然。盡管所有的這一切都是假設(shè)，但可能非常接近事實(shí)。

伊尚戈骨無(wú)疑是古人類嘗試計(jì)數(shù)的最好證明。但我們?cè)跉W洲也發(fā)現(xiàn)了其他動(dòng)物骨頭上刻著類似清點(diǎn)的符號(hào)。這些骨頭可以追溯到舊石器時(shí)代，證明歐洲的人類在相近的時(shí)間點(diǎn)也開始嘗試計(jì)數(shù)。

另一個(gè)稍晚一些的計(jì)數(shù)證據(jù)來(lái)自神秘的新石器時(shí)代石陣，距今大約六千年，是位于法國(guó)布列塔尼卡納克村的卡納克巨石林。有趣的是，這些石列包含的巨石數(shù)量都是質(zhì)數(shù)：7，11，13和17。這究竟是巧合，還是某種計(jì)數(shù)方法？又或是代表著古人類對(duì)數(shù)字更深刻的理解？對(duì)此，我們沒(méi)有答案。盡管考古學(xué)家已經(jīng)努力研究了幾十年，卻至今也無(wú)法解開卡納克之謎。沒(méi)有人知道為什么有那么多沉重的大石頭被排列成行，或許它與英格蘭的巨石陣也有關(guān)聯(lián)。英格蘭的巨石陣也在同一時(shí)期被排列成環(huán)狀。

但是伊尚戈骨和卡納克巨石林與我們現(xiàn)在所認(rèn)知的數(shù)字還是有所不同。在日常生活中，人們最初是用手指來(lái)代表一些小的數(shù)目。亞里士多德曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“不知道是不是因?yàn)槿藗冇惺畟€(gè)手指頭，像小圓石一樣，可以用來(lái)數(shù)身邊所有的東西？”還得再加上我們的十個(gè)腳趾頭，早期的人類社會(huì)用這個(gè)來(lái)數(shù)十的數(shù)字。在法語(yǔ)中，我們還可以看到過(guò)去二十進(jìn)制的殘留。數(shù)字八十，字面上的意思就是四個(gè)二十（quatre-vingts）。

可以清楚地看到，最早人類數(shù)數(shù)是從自然的巧合開始的：我們每只手有五個(gè)手指，每只腳有五個(gè)腳趾。在一些語(yǔ)言中，譬如古高棉語(yǔ)，五用來(lái)作為其他數(shù)字的一個(gè)基點(diǎn)：“四之后”是五，接著是“五和一”“五和二”，這樣下去一直到十。然后再用十作為下一個(gè)基點(diǎn)。早期的歐洲數(shù)字，譬如羅馬數(shù)字，也有這樣的規(guī)律。羅馬數(shù)字中的Ⅴ（五）、Ⅵ（六）、Ⅶ（七）、Ⅷ（八）都以Ⅴ（五）作 為基點(diǎn)的。從八以后我們才看到了跟十的關(guān)聯(lián)：Ⅸ（九）、Ⅹ（十）、XI（十一）、XII（十二）、XIII（十三）。可見(jiàn)，五和十都作為關(guān)鍵數(shù)字在世界不同地區(qū)出現(xiàn)。

在古印度，十是那個(gè)關(guān)鍵數(shù)字。人們很早就已經(jīng)開始使用小數(shù)點(diǎn)，最早可以追溯到公元前6世紀(jì)的碑文中。與此同時(shí)，古印度人還學(xué)會(huì)了以十作為底數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，并且知道這個(gè)運(yùn)算是可以無(wú)窮盡地進(jìn)行下去的：十個(gè)人豎起他們的十根手指，每根手指算一個(gè)，這樣數(shù)十次，就是十的三次方，再乘以十就是十的四次方，這樣以此類推。

中國(guó)的《九章算術(shù)》誕生于漢朝。書中運(yùn)用了正負(fù)數(shù)兩種數(shù)字，正數(shù)用紅色表示，負(fù)數(shù)用黑色表示。在3世紀(jì)的埃及，一位頂尖的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在他的公式中得到了負(fù)數(shù)，但他立馬認(rèn)為這是不可能的。由此可見(jiàn)，負(fù)數(shù)這個(gè)概念很早就出現(xiàn)了，但當(dāng)時(shí)的人們沒(méi)能真正理解它的含義。如今我們?cè)跁?huì)計(jì)中使用的復(fù)式記賬法是13世紀(jì)在歐洲發(fā)展形成的，它出現(xiàn)的一部分原因就是為了避免使用負(fù)數(shù)。想要定義負(fù)數(shù)，我們就必須先有零的概念。

負(fù)數(shù)從某種意義上來(lái)說(shuō)，是正數(shù)的一個(gè)鏡像。如果你畫一條數(shù)軸，從零開始往右是1、2、3等等，從零開始往左則是﹣1、﹣2、﹣3等等。數(shù)字﹣1就是數(shù)字1以零為鏡面的鏡像。零在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域起到了很大的作用。不僅如此，在物理、生物、工程和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，零也扮演了重要角色，出現(xiàn)在了一些決定性的公式里（物理中的麥克斯韋方程組就是一個(gè)很好的例子）。

古巴比倫人曾經(jīng)發(fā)明了一套使用起來(lái)很麻煩的六十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，該系統(tǒng)里沒(méi)有真正的零，因此使用起來(lái)經(jīng)常會(huì)有歧義，人們只能通過(guò)情境來(lái)判斷。拿我們現(xiàn)代的例子來(lái)說(shuō)明吧：有人跟你說(shuō)，一樣?xùn)|西價(jià)值“六九五”，如果你是買一本雜志，你就會(huì)知道是六塊九毛五；如果你是買一張飛機(jī)票，你就會(huì)推斷是六百九十五塊。在這套復(fù)雜的系統(tǒng)中，古巴比倫人經(jīng)常要作這樣的判斷。有趣的是，我們至今還可以看到這套系統(tǒng)所留下的痕跡。譬如，我們一分鐘為六十秒，一小時(shí)里為六十分鐘，轉(zhuǎn)一圈是360°（即6×60°）。但是古巴比倫人的數(shù)字系統(tǒng)就像早期用手指和腳趾數(shù)數(shù)一樣，沒(méi)有辦法適應(yīng)現(xiàn)今社會(huì)的需求。

另外一個(gè)有趣的問(wèn)題出現(xiàn)了：為什么用六十作為基數(shù)呢？我們有十個(gè)手指，所以用十作為基數(shù)很合理；如果你堅(jiān)持要把腳趾也算上，那么二十作為基數(shù)也算方便。為什么用六十呢？1927年，著名的美籍奧地利科學(xué)史專家?jiàn)W托·諾伊格鮑爾提出，古巴比倫人之所以會(huì)選擇較大的六十作為基數(shù)，是為了能夠解決日常生活中產(chǎn)生的問(wèn)題。我們經(jīng)常會(huì)用到1/2、1/3、3/4、2/3這樣的分?jǐn)?shù)：譬如我們想要買半條面包、三分之一塊起司或三分之二塊牧羊人派。如果我們用較為自然的十作為基數(shù)，那么要如何精準(zhǔn)地算出1/2、1/3、3/4、2/3這些我們常用的分?jǐn)?shù)呢。諾伊格鮑爾認(rèn)為，六十是一個(gè)很好的選擇，因?yàn)樗梢员?、3、4和10整除，也因此，整套系統(tǒng)成了六十進(jìn)制。另一種假設(shè)是認(rèn)為古巴比倫人當(dāng)時(shí)知道有五個(gè)行星的存在（水星、金星、火星、木星和土星），他們出于天文原因選擇了六十作為基數(shù)。因?yàn)橐荒曛杏惺€(gè)月，而六十是五和十二的乘積。

希臘羅馬式的數(shù)字系統(tǒng)在我參觀希臘和羅馬時(shí)就有所了解。這套系統(tǒng)一樣沒(méi)有零，只是重復(fù)使用一些符號(hào)來(lái)代表不同的含義。希臘羅馬的數(shù)字系統(tǒng)就像古巴比倫和古埃及的一樣注定淡出歷史舞臺(tái)，最終只能優(yōu)雅地留在那些紀(jì)念日和鐘面上。

接著，在13世紀(jì)的歐洲，一個(gè)包含九個(gè)數(shù)字和零的系統(tǒng)出現(xiàn)了。這個(gè)創(chuàng)新的數(shù)字體系非常受歡迎，在短短十年間就被社會(huì)各個(gè)精英領(lǐng)域所廣泛運(yùn)用。商人、銀行家、工程師和數(shù)學(xué)家都認(rèn)為這個(gè)新的數(shù)字系統(tǒng)改善了他們的生活，因?yàn)樗麄兛梢杂盟鼇?lái)更快地做運(yùn)算，錯(cuò)誤也更少。

有人認(rèn)為是比薩的列昂納多（1170—1250），也就是斐波那契（就是斐波那契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)者）將印度-阿拉伯?dāng)?shù)字帶到了歐洲。他的著作《算盤全書》于1202年出版，他在書中引入了印度-阿拉伯?dāng)?shù)字。很快，這本書就傳遍了整個(gè)歐洲。這本書介紹了九個(gè)印度數(shù)字（即數(shù)字一至九）以及符號(hào)零。斐波那契稱符號(hào)零為zephirum，這個(gè)拉丁單詞的詞根可以追溯到阿拉伯語(yǔ)的sifr。阿拉伯的零和歐洲的零在詞源上有著聯(lián)系。此外，他還非常明確地稱一至九這九個(gè)數(shù)字為印度數(shù)字。因此僅僅在這一本書中，我們就有數(shù)字的印度起源論和阿拉伯起源論。

這套在中世紀(jì)進(jìn)入歐洲的數(shù)字系統(tǒng)比當(dāng)時(shí)一直在使用的羅馬數(shù)字系統(tǒng)要先進(jìn)得多。它帶來(lái)了很多數(shù)字表達(dá)的可能性。譬如，數(shù)字四，單個(gè)使用時(shí)代表四；其后加一個(gè)零代表四十；兩個(gè)四之間加一個(gè)零時(shí)，代表四百零四；其后加三個(gè)零，則代表四千。這套印度-阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)的性能是無(wú)法比擬的，它讓我們能夠很高效簡(jiǎn)潔地使用數(shù)字，做之前無(wú)法輕松完成的復(fù)雜運(yùn)算。

這套基于九個(gè)數(shù)字和一個(gè)零的系統(tǒng)讓人驚奇，但它的來(lái)源依舊是個(gè)謎?；蛟S像斐波那契所說(shuō)的，九個(gè)數(shù)字來(lái)源于印度，但在學(xué)術(shù)界沒(méi)有能夠拿出讓人信服的證據(jù)。還有零，它到底來(lái)自阿拉伯還是印度？還是別的什么地方？我依舊不知道答案。

文 | 阿米爾·阿克澤爾

（本文節(jié)選于《尋找零的起源》第二章）

圖書簡(jiǎn)介

《尋找零的起源》

[美]阿米爾·阿克澤爾 著

周越人 譯

上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社

ISBN：978-7-5439-8045-7

2020年4月

《尋找零的起源》既是一場(chǎng)對(duì)數(shù)字零的起源的探險(xiǎn)之旅，也是作者阿米爾·阿克澤爾身為一名數(shù)學(xué)學(xué)者的人生傳記。正是對(duì)數(shù)字起源的好奇，引導(dǎo)他去探索未知的領(lǐng)域，去印度、泰國(guó)、老撾、越南，并最終進(jìn)入柬埔寨的叢林。作者在他的旅途中遇到的許多有趣的人——學(xué)者、政客、探險(xiǎn)家、走私客、文物竊賊。通過(guò)他們，作者最終向讀者揭示了我們的數(shù)字來(lái)自何方。

作者簡(jiǎn)介

阿米爾·阿克澤爾，出生于以色列海法，博士畢業(yè)于加州大學(xué)伯克利分校，在多所大學(xué)教授數(shù)學(xué)及科學(xué)課程，曾出版《費(fèi)馬大定理》《神秘的阿列夫》等多部科普書籍。

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